ارسطو و اصول موضوعهٔ در ریاضیات یونانی

 کشف انعکاس برخورد ارسطو با اصول موضوعه در آنچه که در کتاب اول از اصول اقلیدس آمده است، سنتی قدیمی است. البته شباهت‌ها و تفاوت‌هایی بین دو رویکرد وجود دارد. اقلیدس اصول خود را به سه دستهٔ تعاریف، اصول موضوعه، و مفاهیم مشترک تقسیم می‌کند. تعاریف مجموعه‌ای از ادعاها هستند که برخی از آنها به صورت قید هستند و برخی دیگر شامل چند ادعا که قابل تعریف نیستند، مانند ادعای این که قطر پاره خطی است که دایره را به دو نیم تقسیم می‌کند (تعریف 17)؛ و همچنین جفت تعاریفی که می‌توان آنها را به صورت ادعا دید (مثلاً، تعریف 2: "یک خط طولی بی عرض است" و تعریف 3، "هر خط به دو نقطه منتهی می‌شود" یا تعریف 6، "انتهای یک سطح به چند خط منتهی می‌شوند."). 

 

اصل موضوع‌های پنج گانهٔ اقلیدس شامل سه قانون برای ترسیم اشکال هندسی است. بسیاری این سه را مطابق با فرضیه‌های ارسطو در مورد هستی دانسته‌اند. دو اصل موضوع دیگر، برابری زوایای قائمه و اصل توازی، این گونه نیستند. اگر مفروضات وجودی در هندسه برای ارسطو فرضیات ترسیمی باشند و اگر نه همه فرضیه ها فرضیات وجودی باشند، ایرادی به همبستگی آنها وارد نیست. در نهایت، همه تصورات رایج به استثنای احتمالا ادعای (8) مبنی بر اینکه چیزهایی که منطبق هستند با هم برابر هستند، با برخی از اصول موضوعه ارسطو مطابقت دارند. با این حال، مورد آخر نیز می تواند به طور یکسان در مورد اشکال هندسی و اعداد اعمال شود. در هر صورت ممکن است که این ادعا در متن اصلی اصول نبوده است. با این وجود، مطابقت بین برداشت ارسطو از اصول موضوعه و آنچه که اقلیدس در کتاب اول اصول آورده در بهترین حالت ضعیف است. در جاهای دیگری در ریاضیات یونانی و حتی در اصول، رویکردهای دیگری درباره اصول موضوعه می‌یابیم که برخی از آنها به مفاهیم ارسطویی نزدیک‌تر هستند. برای مثال، ارشمیدس در رسالهٔ درباره کره و استوانه با فرضیه‌های وجودی (که خطوط خاصی وجود دارند) و قیود (که باید آنها را چنین و چنان نامید) جلو می‌رود.

 

تمایز اساسی‌تر بین برخورد ارسطو با اصول موضوعه و آنچه که در ریاضیات یونانی یافت می‌شود این است که به نظر می‌رسد ارسطو فکر می‌کند که در یک رساله هر اصل موضوعه هم نقشی منطقی و هم نقشی تبیینی دارد. با این حال، به ویژه در رساله هایی که مقدمه یک بحث هستند، داشتن اصولی که نقش منطقی و تبیینی دارند به همراه اصولی که تنها نقش صریح آموزشی دارند، معمول است. آنها هیچ نقش آشکاری در اثباتها ندارند. این اصول ممکن است مانند تعاریف نقطه و خط در کتاب اول اصول باشند. از این رو، اگر بین برداشت ارسطو از اصول موضوعه و ریاضیدانان رابطه ای وجود داشته باشد، ارسطو چارچوب ایده آلی را بر اساس روش ریاضی معاصرش ارائه می دهد که شاید مورد توجه نویسندگانی مانند اقلیدس قرار گرفته باشد یا خیر.

 

ترجمه از متن:

Aristotle and Mathematics > Aristotle and First Principles in Greek Mathematics (Stanford Encyclopedia

ترجمهٔ رضا کیانی موحد