نتایج اثبات قضایای گودل

 در اوایل قرن بیستم یکی از ریاضی‌دانان مشهور به نام دیوید هیلبرت، با جلب همکاری بعضی از بزرگترین ریاضی‌دانان جهان، به این مهم اهتمام کرد که از طریق طرح یک برنامه تحقیق وسیع، سازگاری درونی منطق ریاضی و نظریه مجموعه‌ها را اثبات کند. اثبات سازگاری درونی نظریه مجموعه‌ها از این نظر مهم بود که از نظریه مجموعه‌ها، پس از دستاوردهای جرج کانتور و دیگران، به صورت پایه جدیدی برای تبیین ریاضیات استفاده می‌شد. لیکن قبل از اینکه برنامه تحقیقی هیلبرت به طور وسیع آغاز شود یک ریاضی‌دان جوان گمنام به نام کورت گودل مقاله‌ای نوشت و در آن دو قضیه مهم را اثبات کرد. به زبان ساده نتیجه اثبات وی را می‌توان چنین بیان کرد: اول اینکه اگر نظریه مجموعه‌ها صحیح باشد آنگاه در ریاضی گزاره‌های صحیحی هست که هرگز نه می‌توان آن‌ها را اثبات و نه رد کرد. این امر که قضیه‌هایی وجود دارند که غیرقابل اثبات یا رد هستند به مسأله عدم امکان تصمیم‌گیری مشهور است. دومین قضیه‌ای که اثبات کرد این بود که اگر یک سیستم ریاضی رسمی را در نظر بگیریم که تکمیل باشد، آن‌گاه سازگاری درونی آن نقض می‌شود. اثبات وی در مورد هر سیستم منطقی که به صورت رسمی قابل صورت‌بندی باشد قابل تعمیم است. این اثبات مجدداً یادآور یک ویژگی و محدودیت ذاتی ذهن انسان است که در مورد صحت هیچ چیز نمی‌تواند کاملاً مطمئن باشد.

این قضیه‌ها که به اثبات گودل معروف است گرچه در ابتدا به نظر می‌رسید که پایه‌های اساسی منطق و روش منطقی انسان که ریاضیات است و طی قرون طولانی تکمیل شده را با تزلزل جدی روبه‌رو کرد، لیکن در واقع با روشن کردن نقاط ضعف بالقوه، در نفس خود به یک دستاورد مهم تبدیل شد؛ زیرا یک نتیجه جانبی این اثبات این بود که هیچ ساختار منطقی (مانند یک رشته علمی) را نمی‌توان بر اساس اصول اولیه‌ای پایه‌گذاری کرد که از داخل همان ساختار کسب شده و از اثبات‌های همان ساختار فکری یا رشته علمی حاصل شده باشد. علی‌رغم هر صورت‌بندی که از منطق انجام می‌دهیم ملاحظه و نگرانی در مورد تضمین سازگاری درونی در چارچوب صورت‌بندی همان تئوری علمی ضروری است.

 

 

کتاب «روش علم»

اثر محمد طبیبیان

صفحات ۷۸ و ۷۹